where 

()

,

r





=

, 

()

11

,

r







=

 are scalar functions characterizing surface 

properties of the gratings, 

u

n




 is the derivative of the potential 

()

ur

 in the direction of 

the outer normal 

n

 to the surface of the conical gratings (a normal derivative), 

()

gr

 is 

the known function; 





, 



, 



R



; 

 

3) the energy limitation condition as the conical structure has the tip and edges 

of conical strips: 

(

)

22

D

u

u

dV



+



; 

 

4) the infinity condition. 

 

Feasibility of conditions 2)-4) provides uniqueness of the solution of the stated 

problem. Let us present the required potential 

u

 in the form 

01

u

u

u

=+

, where 

(

)

0

0

0

0

exp

4

u

qr

r

rr

r



=

−

−

−

 corresponds to the field of a source (the primary 

field), and the potential 

1

u

 is caused by existence of the gratings and corresponds to 

the secondary field. 

The purpose and objectives of the study. The work goal is to research the model 

problem of wave diffraction by semi-infinite semitransparent circular cone with 
longitudinal slots which are periodically cut along generatrices and also development 
of a method of the integral singular equations for  solving the correspond mathematical 
mixed boundary value problem for the Helmholtz equation with the 

unclosed conical 

geometry.  

Particular cases of the considered conical structure are the solid semitransparent 

cone, the semitransparent cone with longitudinal slot, the plane angular 
semitransparent sector, the symmetrical two plane semitransparent angular sectors 
representing model of the p microwave antenna "butterfly" [16]. Perfectly conductive 
structures with a conical configuration are obtained from semitransparent by specifying 
the value of transparency. The considered conical structure with periodic longitudinal 
slots is the model of simple periodic conical gratings with semitransparent strips. The 
large number of works [19-21] is devoted to problems of wave diffraction by gratings 
those are caused by broad practical application of gratings in various fields. 
Assignment of mixed (impedance) conditions for the surfaces of a cone allows to 
model a conical metamaterial surface which is effectively used in nanotechnologies 
[22,23]. 

To achieve the goal the following objectives were set: 
- to solve the model mixed boundary value problem of the Helmholtz equation 

with the unclosed conical geometry utilizing the rigorous method based on applying 
the apparatus of the Kontorovich–Lebedev integral transforms and the singular integral 
equations (SIE) with the Cauchy integral kernel; 

- 1530 -